駒田 寛 のサイト

それでも、何も原理を解説しないのも問題だと思うので、簡単に書いておきます。FDTD法において差分化した式で実際に進める計算アルゴリズムを「Yeeアルゴリズム」と呼んでいます。Yeeアルゴリズムでは、解析する空間内にある座標系（直交座標系等）を設定して、そこに電磁場を求めるノードを格子点上に設置します。設置するノードには２種類あって、一方のノードでは電界強度だけを時系列で計算し続け、もう一方のノードでは磁界強度だけを時系列で計算し続けていきます。そしてある時刻での全ノードの電磁場（電界強度、磁界強度の空間分布）の計算を作業の１つの単位として繰り返します。つまり、ある時刻における全ノードにおける各ノードが持つ物理量（電界強度、磁界強度のいずれか）を時系列順に求めていきます。正確に言うと、電場（電界強度の空間分布）と磁場（磁界強度の空間分布）は時系列順に単位時間毎に交互に求まります。だから、「ある時刻」というのはほとんど同じですが２つの時刻になります。電場が求まるノードの位置と磁場が求まるノードの位置は３次元直交座標系で考える場合には直方体単位格子の頂点か辺の中点か面の中心かいずれかの位置になります。各ノードにおいて、電場Eのｘ方向成分、ｙ方向成分、ｚ方向成分、磁場Hのｘ方向成分、ｙ方向成分、ｚ方向成分の計６つのうち１つだけ求まります（もちろん後で補間する計算をすれば全部求まります）。だから、ノードの種類は電場用、磁場用の２種類にそれぞれの（x,y,zの）方向まで加味して２×３＝６種類あるといえます。この様子を絵で描くと右図、fig.1　のようになります。電場Eと磁場Hのx,y,z各方向で１点ずつの計６点のノードが単位格子（「Yeeセル」と呼ぶ）内に収まっています（本段落を、2015/11/25 に訂正）。

また、補足ですが上記の本によると金属でおおわれていない解放空間の外壁の場合、外壁付近のノードの計算は内部のノードと同様に差分式が使われますが、Yeeアルゴリズムとは呼ばず、計算式によって、例えば「Murの吸収境界条件」、「Higdonの吸収境界条件」などと名前がついています。

１つ注意です。「FDTD法計算アルゴリズム」と「Yeeアルゴリズム」で使い分けているところがあった場合、「FDTD法計算アルゴリズム」＝「Yeeアルゴリズムを用いているFDTD法計算プログラムに出てくる数値解析の手順全体（外壁部分の計算や初期条件、境界条件の設定方法等をすべて含んだもの）」という意味で読んでください。次の節「FDTD法計算と私」の3番目の項目「FDTD法のこれからについて私の考え」の中にある「3-3 Yeeアルゴリズム（宇野先生の本のもの）を用いないFDTD法について」の中以外では「Yeeアルゴリズム（上記の本のもの）を用いないFDTD法」といったことは念頭に置いていません。また、「Yeeアルゴリズム」と言えば上記の本のものを指すということにいたします。（本段落を、2015/3/30追加）

もう1つ補足いたします、FDTD法では電磁波の波源として場の値があらかじめ分かっている部分がどこかに存在するのが普通です。この部分のノードに関しては、差分式は出てきません。時間と位置を変数として持つある関数を用いて他の部分とは異なる計算をいたします。また、金属のある場所であれば特に電磁波のしみこみなど考えなければ電場＝０とします。ここでも差分式は出てきません。このように述べると、プログラム依存性が大きいのではと心配になる方もいるかもしれません。でも心配ご無用です。フローチャートやソースプログラムではごまかされやすいのですが、各ステップ内において、どのノードを先に計算するかは結果に影響しません（もちろん、はじめのノード位置の選び方は結果に影響します）。あとで具体的に書きます。

補足1　時間軸を使わない差分法について

差分法での数値計算について、静電場を題材にしてポアソン方程式（マクスウェル方程式を静電場解析用に変形したもの）を用いて解く方法を千葉大学工学部電気電子工学科の授業で習った覚えがあります（差分式の作成で一般的な形状での２次元解析領域周辺部の扱いが手が込んでいた覚えがあります。教科書を不覚にもなくしてしまいました。もしかしたら、このときのテーマは力学系で「ゴム膜のたわみ」とかだったもしれません）。あと、静電場の数値計算は東京工業大学大学院の輪講でも取り上げている学生仲間がいました。助手の人も応援していました。ただし、千葉大学の他の数値計算の授業で用いたテキストには、例えばニュートン法を用いた方程式の解を求める問題については、計算手順（アルゴリズム）だけではなく、計算誤差の見積が書かれているのに、上記の差分法での数値計算の場面ではその話はありませんでした。だから、私の中では、「差分法での数値計算については、おそらく数学者集団が色々考えてくれていて、多分、方法論としては存在が広く認知されているのだろうな」となっています。（2023.5.20 追加）